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高等代数,第四版,第四章P198,T3
Original
Appmath
MathematicsClub
2022-10-14
高等代数,第四版,第四章P198,T3
高等代数,第四版,第四章P198,T3
数学兴趣大讲堂
Kusner 猜想
定义 n 维空间中 P(p1, p2, …, pn) 和 Q(q1, q2, …, qn) 两点之间的 Manhattan 距离为 |p1 – q1| + |p2 – q2| + … + |pn – qn| ,直观地说就是在 n 维网格中从 P 到 Q 的最短路径长度。某日,木遥告诉了我一个与此相关的数学未解之谜:在 n 维空间中,最多可以有多少个 Manhattan 距离两两相等的点?
容易看出,这样的点至少可以有 2n 个,例如三维空间中 (1, 0, 0) 、 (-1, 0, 0) 、 (0, 1, 0) 、 (0, -1, 0) 、 (0, 0, 1) 、 (0, 0, -1) 就是满足要求的 6 个点。大家肯定会想,这应该就是点数最少的方案了吧?不过,真要证明起来可没那么容易。1983 年,Robert Kusner 猜想, n 维空间中 Manhattan 距离两两相等的点最多也只能有 2n 个,这也就是现在所说的 Kusner 猜想。目前人们已经证明,当 n ≤ 4 时, Kusner 猜想是正确的。当 n > 4 时呢?虽然大家相信这个猜想也应该是正确的,但还没有人能够证明。
有趣的是,在很多其他的度量空间下,同类型的问题却并没有这么棘手。如果把距离定义为标准的 Euclidean 距离,那么 n 维空间中显然最多有 n + 1 个等距点;如果把距离定义为 Chebyshev 距离(即所有 |pi – qi| 中的最大值),问题的解则是 2n ,即 n 维坐标系中单位立方体的 2n 个顶点。一旦换作 Manhattan 距离,问题就迟迟不能解决,这还真有些出人意料。
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第一章A组答案:
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第二章A组答案:
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第三章A组答案
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课后习题视频系列:
第四章A组
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第五章A组
高代资料系列:
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